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Wir nehmen zunächst an, daß das Auto hinter der Tür Nr. 1 steht.
Dies kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit geschehen. "Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit" oder oBdA ist Mathematiker-Jargon
und bedeutet, daß es unserem Beweis keinen Abbruch tut, diese
Annahme zu treffen. Sollte das Auto hinter Tür Nr. 2 stehen,
vertausche ich im ganzen Text "Tür Nr. 1" mit "Tür Nr. 2", und
es stimmt immer noch alles.
Der Kandidat hat nun also drei Möglichkeiten, eine Tür zu wählen. Da er keinerlei Informationen hat, wählt er zufällig eine aus. Die Wahrscheinlichkeit (in Zukunft hier wie in der Statistik üblich einfach mit einem kleinen p abgekürzt) für die Wahl der Türen 1, 2, 3 ist also jeweils 1/3.
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| Kandidat wählt | p | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tür 1 | 1/3 | |||||
| Tür 2 | 1/3 | |||||
| Tür 3 | 1/3 | |||||
| Summe | 1 | |||||
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Auf dieser Tabelle aufbauend machen wir nun noch eine Fallunterscheidung danach, welche Tür der Moderator öffnet. Da wir annehmen, daß das Auto hinter der Tür 1 steht, hat der Moderator nur dann eine Wahl, wenn der Kandidat die Tür 1 wählt. Wir gehen davon aus, daß der Moderator in diesem Fall zufällig entscheidet, ob der die Tür 2 oder die Tür drei öffnet. Ansonsten gibt es immer nur eine Tür, die der Moderator öffnen kann!
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| Kandidat wählt | Moderator öffnet | p | ||||
| Tür 1 | Tür 2 | 1/6 | ||||
| Tür 1 | Tür 3 | 1/6 | ||||
| Tür 2 | Tür 3 | 1/3 | ||||
| Tür 3 | Tür 2 | 1/3 | ||||
| Summe | 1 | |||||
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Betrachten wir nun zunächst einen Kandidaten, der stets bei seiner ersten Wahl bleibt, egal, was passiert:
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| Kandidat wählt | Moderator öffnet | endgültige Wahl | Kandidat gewinnt | p | ||
| Tür 1 | Tür 2 | Tür 1 | Ja | 1/6 | ||
| Tür 1 | Tür 3 | Tür 1 | Ja | 1/6 | ||
| Tür 2 | Tür 3 | Tür 2 | Nein | 1/3 | ||
| Tür 3 | Tür 2 | Tür 3 | Nein | 1/3 | ||
| Summe | 1 | |||||
| Summe der Fälle, in denen Kandidat gewinnt | 1/3 | |||||
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Nun ist es fast schon klar, aber hier noch die Tabelle für einen Kandidaten, der stets die Tür wechselt, nachdem der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat:
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| Kandidat wählt | Moderator öffnet | endgültige Wahl | Kandidat gewinnt | p | ||
| Tür 1 | Tür 2 | Tür 3 | Nein | 1/6 | ||
| Tür 1 | Tür 3 | Tür 2 | Nein | 1/6 | ||
| Tür 2 | Tür 3 | Tür 1 | Ja | 1/3 | ||
| Tür 3 | Tür 2 | Tür 1 | Ja | 1/3 | ||
| Summe | 1 | |||||
| Summe der Fälle, in denen Kandidat gewinnt | 2/3 | |||||
Was ich hier gemacht habe, ist ein recht simpler Beweis - ich habe einfach alle möglichen Fälle aufgezählt und die Wahrscheinlichkeiten addiert. Aber Beweis ist Beweis, und deshalb darf ich die Seite, wie es sich für einen Beweis gehört, abschließen mit einem dicken qed.(Das steht für "quod erat demonstrandum", was zu beweisen war, und ist auch Mathematik-Jargon.)
Wem das nicht reicht, dem bleiben ja noch immer
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